Figlio di Trisha e Michael Salazar, Anthony è nato a Clearwater Beach, in Florida. Ha fatto il suo debutto come attore in spot pubblicitari all'età di quattro anni. Nel 2009 ha debuttato al cinema nel film commedia È complicato, in cui ha recitato al fianco di attori come Meryl Streep, Alec Baldwin e Steve Martin.

Dopo essersi preso alcuni anni per recuperare il suo percorso scolastico, tra il 2012 e il 2013 è tornato a recitare apparendo nelle produzioni televisive Applebaum, Grey's Anatomy e The Mentalist. Sempre nel 2013 è apparso nel film No Ordinary Hero: The SuperDeafy Movie e nell'anno successivo nella commedia Chef - La ricetta perfetta. Nel 2014 ha preso parte a 6 episodi della serie televisiva Rake. Nel 2015 è apparso nel film distopico post apocalittico The Divergent Series: Insurgent, sequel di Divergent con protagonista Shailene Woodley. Nello stesso anno è stato tra i personaggi principali dell'horror Krampus - Natale non è sempre Natale. Per questa sua interpretazione è stato candidato allo Young Artist Award come miglior giovane attore protagonista.