Esordisce intorno ai 5 anni di età al Grand Hotel di Roma cantando la canzone O mese d'e rrose di Roberto Murolo. Avendo svolto una buona interpretazione, Sorrentino attirò l'attenzione di un giornalista, e in seguito Lilly D'Eramo (moglie del regista Nanni D'Eramo) invitò la madre a portare Claudio e le sue sorelle alla scuola di recitazione e di teatro per bambini. All'età di 6 anni interpretò "Zi' Dima" ne La giara di Luigi Pirandello e "Medoro" in Sik Sik di Eduardo de Filippo in diversi teatri di Roma.

Sorrentino partecipò in seguito come attore nell'opera in quattro puntate Vita col padre e con la madre assieme a Paolo Stoppa, Rina Morelli e Corrado Pani.

A 23 anni si è sposato con la scrittrice e poetessa Manuela Artari, matrimonio durato fino alla scomparsa di lei avvenuta nel 2010.

In quel periodo iniziò la sua carriera di doppiatore partecipando al film L'ultima carovana di Delmer Daves (1956).

Nel mondo del doppiaggio è noto soprattutto per aver prestato voce a John Travolta in gran parte dei suoi film, a Mel Gibson dal film Arma letale in poi, a Ron Howard nel ruolo di Richie Cunningham nella sitcom Happy Days, a Patrick Duffy nel ruolo di Bobby Ewing nel telefilm Dallas e al personaggio Koji Kabuto nell'anime Mazinga Z.

È anche stato la voce ufficiale di Topolino negli anni settanta